Unity Shader入门精要学习笔记：学习Shader所需的数学基础

前言

由于此章节部分内容博主已经在计算机图形学中学习过，所以会少记录一部分，可以前往图形学：上和图形学：下查看

笛卡尔坐标系

二维笛卡尔坐标系

一个二维笛卡尔坐标系包含两个部分的信息

原点
两条过原点的互相垂直的矢量，即x轴和y轴，这些坐标轴也被称为是该坐标系的基矢量。
OpenGL和DirectX使用了不同的二维笛卡尔坐标系。

三维笛卡尔坐标系

在三维笛卡尔坐标系中，我们需要定义三个坐标轴和一个原点。
这三个坐标轴被称为该坐标系的基矢量。通常情况下，这三个坐标轴之间是互相垂直的，且长度为1，这样的基矢量被称为标准正交基。但这并不是必须的。如果不都为1，就是正交基。

左手坐标系和右手坐标系

两种坐标系无法通过旋转做到重合。
左右手坐标系转换方法是，把其中一个轴反转，并保持其他两个轴不变。

Unity使用的坐标系

Unity使用的是左手坐标系。（模型空间）
在观察空间中，Unity使用的是右手坐标系。以摄像机为原点的坐标系。

点和矢量

点是n维空间中的一个位置，他没有大小，宽度这类概念。
矢量是指n维空间中一种包含了模和方向的有向线段。
单位矢量可以用类似：$\widehat a$来表示

矢量运算

零矢量不可以被归一化。

矢量的点积

公式一

$\overset\rightharpoonup a\cdot\overset\rightharpoonup b\;=\;(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)\;=\;a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

几何意义：投影，这一点将会在下面的公式中得到解释。

性质一：点积可结合标量乘法
性质二：点积可结合标量加减法
性质三：一个矢量和本身进行点积的结果，是该矢量的模的平方

公式二

$\overset\rightharpoonup a\cdot\overset\rightharpoonup b=\left|\overset\rightharpoonup a\right|\left|\overset\rightharpoonup b\right|\cos\left(\theta\right)$

这个公式解释了投影原理

矢量的叉积

与点积不同的是，向量叉积的结果仍是一个矢量，而不是标量。

$\overset\rightharpoonup a\times\overset\rightharpoonup b\;=\;(a_x,a_y,a_z)\times(b_x,b_y,b_z)\;=\;(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$

叉积不满足交换律，结合律。

矩阵

他有个更装逼的名字，叫母体。一个矩阵可以把一个矢量从一个坐标空间转换到另一个坐标空间。

特殊的矩阵

方块矩阵

行列树相同的矩阵

单位矩阵

$\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&1\end{bmatrix}$

转置矩阵

$M_{ij}^T\;=\;M_{ji}$

逆矩阵

$MM^{-1}\;=M^{-1}M\;=I$

如果一个矩阵有对应逆矩阵，我们就说这个矩阵是可逆的（非奇异的）。

正交矩阵

$MM^T\;=M^TM\;=I$

如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的。

矩阵的几何意义：变换

坐标空间

顶点的坐标空间变换过程

模型空间

模型空间也叫对象空间或者局部空间。

世界空间

多用于描述绝对位置
顶点变换第一步，就是将顶点坐标从模型空间变换到世界空间中，这个变换通常叫做模型变换。

观察空间

也被称为摄像机空间。
观察空间是一个三维空间，而屏幕空间是一个二维空间。
从观察空间到屏幕空间的转换需要经过一个操作，那就是投影。
顶点变换第二步，就是将顶点坐标从世界空间变换到观察空间中，这个变换通常叫做观察变换。

裁剪空间

顶点接下来要从观察空间转换到裁剪空间（齐次裁剪空间），这个用于变换的矩阵叫做裁剪矩阵，也被称为投影矩阵。

屏幕空间

经过投影矩阵变换后，我们可以进行裁剪操作，当完成了所有裁剪工作后，就需要进行真正的投影了，需要把视锥体投影到屏幕空间。
屏幕空间是一个二维空间，一次，我们需要把顶点从裁剪空间投影到屏幕空间中，来生成对应的2D坐标。
首先，我们要进行标准其次出发，也成为了透视除法。在OpenGL中我们把这一步得到的坐标叫做归一化的设备坐标（NDC）。